Kolmion sivut
Kolmion kulmat
Kolmion ominaisuudet
Tietoa kolmion laskennasta
Kolmio on monikulmio, jossa on kolme reunaa ja kolme kärkeä. Se on yksi geometrian perusmuodoista. Kolmiot voidaan luokitella niiden kulmien (teräväkulmainen, suorakulmainen, tylppäkulmainen) tai sivujen (tasasivuinen, tasakylkinen, epäsymmetrinen) perusteella.
Kolmion luokittelu
Sivujen mukaan:
- Tasasivuinen: Kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkiä. Kaikki kolme kulmaa ovat yhtä suuria (kukin 60°).
- Tasakylkinen: Kaksi sivua on yhtä pitkiä. Näitä sivuja vastapäätä olevat kulmat ovat myös yhtä suuria.
- Epäsymmetrinen: Kaikki kolme sivua ovat eripituisia. Kaikki kolme kulmaa ovat myös erilaisia.
Kulmien mukaan:
- Teräväkulmainen: Kaikki kolme kulmaa ovat pienempiä kuin 90°.
- Suorakulmainen: Yksi kulma on tarkalleen 90°.
- Tylppäkulmainen: Yksi kulma on suurempi kuin 90°.
Kolmion laskentamenetelmät
Kolmion ominaisuudet voidaan laskea useilla tavoilla tunnettujen arvojen perusteella. Tämä laskin tukee seuraavia menetelmiä:
SSS (Kolme sivua)
Kun kaikki kolme sivua (a, b, c) ovat tiedossa, voidaan laskea:
Puolikehä s = (a + b + c) / 2
Pinta-ala = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) [Heronin kaava]
Kulmien osalta käytä kosinilakia:
cos(A) = (b² + c² – a²) / (2bc)
cos(B) = (a² + c² – b²) / (2ac)
cos(C) = (a² + b² – c²) / (2ab)
SAS (Kaksi sivua ja niiden välinen kulma)
Kun kaksi sivua ja niiden välinen kulma (a, b, C) ovat tiedossa:
Pinta-ala = (1/2) × a × b × sin(C)
Kolmas sivu c = √(a² + b² – 2ab·cos(C))
Jäljellä olevien kulmien osalta käytä sinilakia:
sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c
ASA tai AAS (Kaksi kulmaa ja sivu)
Kun kaksi kulmaa ja sivu ovat tiedossa:
Kolmas kulma = 180° – (ensimmäinen kulma + toinen kulma)
Jäljellä olevien sivujen osalta käytä sinilakia:
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
Pinta-ala = (1/2) × sivu × korkeus
= (1/2) × bc·sin(A) [sivulle a]
Tärkeät kolmion ominaisuudet
- Kolmion epätasa-arvolause: Kahden sivun pituuksien summan on oltava suurempi kuin jäljelle jäävän sivun pituus. a + b > c, b + c > a, ja a + c > b
- Kulmien summa: Kaikkien kolmen kulman summa missä tahansa kolmiossa on aina 180° (tai π radiaania).
- Pythagoraan lause: Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan pituuden neliö on yhtä suuri kuin muiden kahden sivun neliöiden summa: a² + b² = c²
Kolmion keskipisteet
Kolmiolla on useita tärkeitä “keskipisteitä”:
- Keskipiste (sentroidi): Piste, jossa kolme mediaania leikkaavat (mediaani yhdistää kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen). Se on kolmion massakeskipiste.
- Ulkokeskipiste (circumcenter): Ympyrän keskipiste, joka kulkee kaikkien kolmen kärjen kautta. Se on piste, jossa sivujen keskinormaalit leikkaavat.
- Sisäkeskipiste (incenter): Sisäänpiirretyn ympyrän keskipiste (ympyrä, joka koskettaa kolmion kaikkia kolmea sivua). Se on piste, jossa kulmaviivoittimet leikkaavat.
- Korkeuskeskipiste (orthocenter): Piste, jossa kolme korkeusviivaa leikkaavat (korkeusviiva on linja kärjestä kohtisuoraan vastakkaiseen sivuun).
Kolmion laskennan sovellukset
Kolmion laskennalla on lukuisia käytännön sovelluksia:
- Rakentaminen ja insinööritiede: Kattokulmien, rakenteiden vakauden ja tukivoimien laskeminen.
- Navigointi: Kolmiomittausta käytetään tuntemattomien sijaintien määrittämiseen etäisyyksien tai kulmien perusteella tunnetuista pisteistä.
- Maanmittaus: Maan pinta-alojen mittaaminen ja kiinteistörajojen määrittäminen.
- Fysiikka: Voimavektoreiden analysointi ja komponenttien jakaminen.
- Tietokonegrafiikka: 3D-mallinnuksessa käytetään usein kolmiomaisia verkkoja perusrakennuspalikoina.